y%3Dxe%5E3x.jpeg "(d^2-3d+2)y=xe^3x")
Menyelesaikan Persamaan Diferensial (d^2-3d+2)y=xe^3x
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan turunan dari suatu fungsi. Pada artikel ini, kita akan membahas cara menyelesaikan persamaan diferensial berikut:
(d^2-3d+2)y=xe^3x
Untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini, kita akan menggunakan metode yang umum digunakan, yaitu metode Undetermined Coefficients.
Langkah 1: Mencari Bagian Homogen
Pertama-tama, kita akan mencari bagian homogen dari persamaan diferensial. Bagian homogen adalah bagian yang tidak tergantung pada variabel x.
(d^2-3d+2)y=0
Untuk mencari solusi homogen, kita dapat menggunakan metode yang umum digunakan, yaitu metode Characteristic Equation.
r^2 - 3r + 2 = 0
Menggunakan rumus kuadrat, kita dapat menyelesaikan persamaan karakteristik di atas.
(r - 1)(r - 2) = 0
Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai-nilai eigen yaitu r = 1 dan r = 2.
y_h = c1e^x + c2e^(2x)
Langkah 2: Mencari Bagian Particular
Sekarang kita akan mencari bagian particular dari persamaan diferensial. Bagian particular adalah bagian yang tergantung pada variabel x.
(d^2-3d+2)y=xe^3x
Untuk mencari solusi particular, kita dapat menggunakan metode Undetermined Coefficients. Pada metode ini, kita akan mencari suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial.
y_p = Ae^3x + Bxe^3x
Turunan pertama dan kedua dari fungsi di atas adalah:
y'_p = 3Ae^3x + 3Bxe^3x + Be^3x y''_p = 9Ae^3x + 9Bxe^3x + 6Be^3x
Substitusi fungsi dan turunannya ke dalam persamaan diferensial awal, kita dapat menentukan nilai-nilai A dan B.
(9Ae^3x + 9Bxe^3x + 6Be^3x) - 3(3Ae^3x + 3Bxe^3x + Be^3x) + 2(Ae^3x + Bxe^3x) = xe^3x
Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai-nilai A dan B yaitu A = 1/8 dan B = 1/16.
y_p = (1/8)e^3x + (1/16)xe^3x
Langkah 3: Menentukan Solusi Umum
Solusi umum dari persamaan diferensial adalah kombinasi dari bagian homogen dan particular.
y = y_h + y_p y = c1e^x + c2e^(2x) + (1/8)e^3x + (1/16)xe^3x
Dengan demikian, kita telah menentukan solusi umum dari persamaan diferensial (d^2-3d+2)y=xe^3x.
